[数论第一节]质数/约数
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数论
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质数
- 在大于1的整数中，只包含1和本身这两个约数，就被称为质数，也叫素数
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质数的判定
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试除法
- 遍历2-n，若有约数则不为质数 O(n)
- 优化：
- d整除n，则n/d也整除n，约数总是成对出现，只要找较小的约数，即取d <= n/d，则d <= sqrt(n) 只用遍历2-sqrt(n) O(sqrt(n))
- 不用 i * i <= n ，i过大会溢出
- sqrt()函数较慢，只用遍历 d--n/d，即限制范围为 i--n/i
- 代码：
//不用for(int i = 1; i * i <= n; ++ i) i * i 会溢出 //不用for(int i = 1; i <= sqrt(n); ++ i) sqrt() 函数缓慢 //用for(int i = 1; i <= n / i; ++ i) 不会溢出，快 bool is_prime(int x){ if(x < 2) return false; for(int i = 2; i <= n / i; ++ i) if(n % i == 0) return false; return true; }
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分解质因数
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试除法
- 遍历2-n，找因子
- n最多有一个大于sqrt(n)的因子，因此只用在2-sqrt(n)中找因子，最后判断最后一个因子是否为大于sqrt(n)的因子
- 代码：
//暴力做法 void divide(int n){ for(int i = 2; i <= n; ++ i){ if(n % i == 0){ int s = 0; //i的个数 while(n % i == 0){ n /= i; //除干净 s ++ ; } cout << i << s << endl; } } } //优化 void divide(int n){ for(int i = 2; i <= n / i; ++ i){ if(n % i == 0){ int s = 0; while(n % i == 0){ n /= i; s ++ ; } cout << i << s << endl; } } if(n > 2) cout << n << 1;//n就是最后大于sqrt(n)的因子 }
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筛选质数
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埃氏筛法
- 从2-n，将每个数的倍数删掉，那么剩下的数就是质数 O(nln(n))
- 优化：
- 任何一个合数都可以拆成若干素数之积，因此只用将素数的倍数删掉 O(nln(ln(n))) ~ O(n)
- 代码：
int primes[N]; int st[N];//标记是否被筛过 void get_primes(int n){ int cnt = 0; for(int i = 2; i <= n; ++ i){ if(!st[i]){ //没有被筛过，说明是质数 primes[ ++ cnt] = i; //筛该质数的所有倍数 for(int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = 1; } } }
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线性筛法
- 数据大小在107左右线性筛法比埃氏筛法快一倍，106左右差不多
- n只会被它的最的最小质因子筛掉，利用最小质因子筛掉合数
- 代码：
int primes[N]; int st[N]; void get_primes(int n){ int cnt = 0; for(int i = 2; i <= n; ++ i){ if(!st[i]) primes[ ++ cnt] = i;//没有被筛掉就是质数 for(int j = 1; primes[j] <= n / i; ++ j){//从小到大遍历质数 st[primes[j] * i] = 1; //筛掉合数，若x是合数，当i遍历到x时，一定会先遍历到x的最小质因子prime，所以此时prime进入primes数组，当i遍历到x/prime时，x = prime*i会被筛掉，所以每个合数都能被筛掉，并且是在遍历到该合数之前被筛掉 if(i % pimes[j] == 0) break; //i是合数筛掉i，i在之前就被标记过，所以不用再标记 } } }
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约数
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求所有约数
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试除法
- 代码：
vector<int> get_divisors(int n){ vector<int> res; for(int i = 1; i <= n / i; ++ i){ if(n % i == 0){ res.push_back(i); if(i != n / i) res.push_back(n / i); } } sort(res.begin(), res.end()); return res; }
- 代码：
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约数的个数
- 若\(N = p_1^{a_1} · p_2^{a_2} · p_3^{a_3} ··· ·p_n^{a_n}\) 其中p为N的所有质因子
- 则N的约数个数为：\((a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)···(a_n+1)\)
- 代码：
const int mod = 1e7 + 10; unordered_map<int, int> primes;//hash表存储每个质数有多少 void get_primes(int n){ for(int i = 2; i <= n / i; ++ i){ while(n % i == 0){ n /= i; primes[i] ++ ; } } if(n > 1) primes[n] ++ ; } for(int i = 1; i <= n; ++ i) get_primes(a[i]); long long res = 0; for(auto p : primes) res = res * (p.second + 1) % mod;
- 代码：
- 则N的约数总和为：\((p_1^{0}+p_1^{2}+···+p_1^{n})(p_2^{0}+p_2^{1}+···+p_2^{n})···(p_n^{0}+p_n^{1}+···+p_n^{n})\)
- 代码：
const int mod = 1e7 + 10; unordered_map<int, int> primes; void get_primes(int n){ for(int i = 2; i <= n / i; ++ i){ while(n % i == 0){ n /= i; primes[i] ++ ; } } if(n > 1) primes[n] ++ ; } for(int i = 1; i <= n; ++ i) get_primes(a[i]); long long res = 1; for(auto p : primes){ long long t = 1; int a = p.first, b = p.second; while(b -- ) t = (t * a + 1) % mod; res = res * t % mod; }
- 代码：
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最大公约数
- 辗转相除法（欧几里得算法）O(logn)
- a|b, a|c, 则 a|(b+c), 则a|(bx + cy)
- 求a与b的最大公约数，设其公约数为c，则c|a, c|b, c|(ax + by), 设a = kb + m, 则m = a - kb, 则c|m, 又m = a % b, 则 c|(a % b), 即a与b的最大公约数，也是a%b的公约数，即gcd(a, b) = gcd(b, a % b)
- 代码：
int gcd(int a, int b){ return b ? gcd(b, a % b) : a; }
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