顺序与链式二叉树的原理、应用与实现(万字长文)

一、树概念及结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。

  • 有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点

  • 除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i
    <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继

因此,树是递归定义的。

注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构

树的相关概念

  • 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
  • 叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点
  • 非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点
  • 双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
  • 孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
  • 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
  • 树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
  • 节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
  • 树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
  • 堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点
  • 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
  • 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
  • 森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间
的关系,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点 
    struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点 
    DataType _data;               // 结点中的数据域
};

树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)

二、二叉树概念及结构

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:

  1. 或者为空
  2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出:

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

特殊的二叉树

  1. 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是
    说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是2k -1,则它就是满二叉树。
  2. 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
    的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
    应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

  1. 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2i-1个结点.

  2. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是2h-1.

    层数    最大节点数
    h = 1  2^0 == 1
    h = 2  2^1 == 2
    h = 3  2^2 == 4
    ...
    h = h  2^(h-1) = x个
    
    性质总结:
    1.即每一层的最大节点数为x = 2^(h-1)
    2.每一层的最大节点数都是之前所有层的和+1.
    	即所有节点的和 = 最大层的下一层的最大节点书-1
    	即n=2^h -1 
    3.对n=2^h-1 同时取对数,得到:
    	log₂(n+1) = h
      即高度h等于log₂(n+1)
    
  3. 对任何一棵二叉树, 如果叶结点(度为0)个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有n0=n2 +1

  4. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h=log2(n+1).

  5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对
    于序号为i的结点有:

    1. 若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点

    2. 若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,2i+1>=n否则无左孩子

    3. 若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,2i+2>=n否则无右孩子

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构。

  1. 顺序存储
    顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空
    间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
    序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。

链式存储
二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链,当前简单二叉树一般都是二叉链,红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType; 
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
	  struct BinTreeNode* _pLeft;  // 指向当前节点左孩子 
    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子 
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}
 
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲 
    struct BinTreeNode* _pLeft;   // 指向当前节点左孩子 
    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域

三、二叉树的顺序结构及实现

二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的,因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结
构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储,需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事,一个是数据结构,一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

堆的概念及结构

将根节点是最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点是最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的作用:

  1. 选数
    • 排序
    • topK问题(N个数中,找最大或最小的前k个)

堆的性质:

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值;

  • 堆总是一棵完全二叉树。

  • 大堆:树中所有父亲都大于等于孩子

    小堆:树中所有父亲都小于等于孩子

计算孩子与父亲的下标关系

1. 通过父亲得到左右孩子的下标

  • leftchild = parent*2+1

  • rightchild = parent*2+2

2. 通过孩子找到父亲的下标

前提,需要知道自己是左孩子还是右孩子

如何得知自己是左孩子还是右孩子?
下标的逻辑关系:
  • 左孩子一定是奇数位

  • 右孩子一定是偶数位

可以得到

  • parent = (leftchild - 1)/2

  • parent = (rightchild - 2)/2

根据计算机取整规则(向下取整):(左右孩子下标-1)/2的值是一样的

因此计算父亲下标的统一规则

parent = (child - 1) / 2

堆的逻辑结构是一颗完全二叉树

堆的物理结构是数组,

逻辑结构感性说明:想象的结构,图形

物理结构:实际存储结构,内存中的存储方式

判断数组是不是堆

  • 方法:(画图)转成完全二叉树,看满不满足堆的条件

    依据:任何一个数组都可以看作是完全二叉树,但完全二叉树不一定是堆

堆的代码实现

1. 向上调整算法

用途
  • 插入(在堆的前提下插入新元素)
时间复杂度:O(log2(n))

分析:最坏要走到顶点,即高度次log2(n+1),最好是插入就满足,不用调整,即O(1)次

代码实现

大堆版本

void AdjustUp(HeapDataType* a, int child)
{
	assert(a);
	int parent = (child - 1) / 2;
	//防越界,父可以为0,儿要大于0
	while (parent >= 0 && child > 0 && a[child] > a[parent]) //小堆:a[child] < a[parent]
	{														  
		Swap(&a[child], &a[parent]);
		//更新
		child = parent; 
		parent = (child - 1) / 2;
	}
}

2. 向下调整算法

用途:
  • 删除堆的某个元素
  • 无序数组建堆(最快方法)

给出一个数组,逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整
成一个小堆。向下调整算法有一个前提:左右子树必须是一个堆,才能调整。

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

时间复杂度:O(log2n)

分析:最坏情况是从堆顶调整到堆底.即高度次

代码实现

前提:左右子树是堆

适合建堆:递归从最小父亲开始(虽然可以从最小孩子)

//大堆版本
void AdjustDown(HeapDataType *a,int size, int parent) 
{
	//假设左孩子大
	int child = parent * 2 + 1;
	
	//调整到叶子就结束
	while (child < size) //左孩子不存在,右孩子一定不存在
	{
	  //选出最大孩子 --- 如果右孩子更大,说明假设错了,更新
		if (child + 1 < size && a[child] < a[child + 1]){
			child++;
		}
		//我小于我最大的孩子,就要交换,让他来当父亲,我当儿子 --- 因为大堆要选出最大的  
		if (a[child] > a[parent])
		{						 
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

3. 堆的创建

给出一个数组,这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树,但是还不是一个堆,现在我们通过算法,把它构建成一个大堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6}; 

代码实现
//接收一个堆指针(输出型参数),一个数组,一个数组大小
void HeapCreate(Heap *ps, HeapDataType *a, int size)
{
	assert(ps);
	
	//1. 开辟堆中数组空间
	ps->a = (HeapDataType *)malloc(size * sizeof(HeapDataType));
	if (ps->a == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(1);
	}
	memcpy(ps->a, a, size *sizeof(HeapDataType));//拷贝数组过去
	ps->size = size;
	ps->capacity = 2 * size;
	
	//2. 建堆
	//从最小父亲开始向下调整
	//循环,直到父亲/孩子不为0
	int parent = (size - 1 - 1) / 2;
	while (parent >= 0)
	{
		AdjustDown(ps->a, ps->size, parent);
		parent--;
	}
}

建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树,而满二叉树也是完全二叉树,此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的
就是近似值,多几个节点不影响最终结果):

因此:建堆的时间复杂度为O(N)。

4. 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上,再进行向上调整算法,直到满足堆。

代码实现
void HeapPush(Heap *ps,HeapDataType x)
{
	assert(ps);
	
	//考虑扩容
	if (ps->size == ps->capacity){
		int newCapacity = ps->capacity == 0 ? 4 : 2 * ps->capacity;
		HeapDataType *tmp = (HeapDataType *)realloc(ps->a, newCapacity * sizeof(HeapDataType));
		if (tmp == NULL){
			perror("realloc fail!");
			exit(-1);
		}
		ps->a = tmp;
		ps->capacity = newCapacity;
	}
	
	ps->a[ps->size] = x;
	ps->size++;
	AdjustUp(ps->a, ps->size - 1);
}

5. 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据,将堆顶的数据根最后一个数据一换,然后删除数组最后一个数据,再进行向下调
整算法。

代码实现
void HeapPop(Heap *ps)
{
	assert(ps);
	assert(ps->size > 0); // 保证堆中存在数据
	Swap(&ps->a[ps->size-1], &ps->a[0]);
	ps->size--;
	AdjustDown(ps->a,ps->size, 0);
}

6. 堆的其他功能 -- 代码实现

Heap.h
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma once

#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<string.h>

typedef int HeapDataType;

typedef struct Heap
{
	HeapDataType *a;
	int size;
	int capacity;
	//顺序表思想
}Heap;

void HeapPrint(Heap *ps);
void HeapInit(Heap *ps);
void HeapDestroy(Heap *ps);
void HeapPush(Heap *ps,HeapDataType x);
void HeapPop(Heap*ps);
int HeapSize(Heap *ps);
bool HeapEmpty(Heap *ps);
//接受一个堆,数组, 数组大小。建一个堆
void HeapCreate(Heap*ps, HeapDataType *a, int size);
void HeapSort(HeapDataType *a, int size);
void AdjustDown(HeapDataType *a, int size, int parent);
void AdjustUp(HeapDataType *a, int child);
void Swap(HeapDataType *p1, HeapDataType *p2);
Heap.c
#include"Heap.h"

void Swap(HeapDataType *p1, HeapDataType *p2){
	HeapDataType tmp = 0;
	tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}


void HeapPrint(Heap *ps){
	assert(ps);
	for (int i = 0; i < ps->size; i++)
	{
		printf("%d ", ps->a[i]);
	}
}


void HeapInit(Heap *ps){
	assert(ps);
	ps->a = NULL;
	ps->size = 0;
	ps->capacity = 0;
}



void HeapDestroy(Heap *ps){
	assert(ps);
	free(ps->a);
	ps->capacity = ps->size = 0;
}



//选数相当快,只需要logN次
HeapDataType HeapTop(Heap *ps){
	assert(ps);
	assert(ps->size > 0);
	return ps->a[0];
}


int HeapSize(Heap *ps){
	assert(ps);
	return ps->size;
}


bool HeapEmpty(Heap *ps){
	assert(ps);
	return ps->size == 0;
}

堆的应用

堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:

  1. 建堆
    升序:建大堆
    降序:建小堆
  2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整,因此掌握了向下调整,就可以完成堆排序。

堆排序代码实现

HeapSort.c
#include"Heap.h"


void HeapSort(HeapDataType *a, int size)
{
	assert(a);
	// ---- 向下调整算法建堆  ----
	//时间复杂度O(n)
	int parent = (size - 1 - 1) / 2;
	while (parent >= 0)
	{
		AdjustDown(a, size, parent);
		parent--;
	}
	// ---- 选数 ----
	//时间复杂度O(n*logN),好像是说n个数都要高度次调整

	//int end = size - 1;//
	while (size>0)
	{
		Swap(&a[0], &a[size-1]);//选数,选完就少一个
		size--;
		AdjustDown(a, size, 0);//
	}

}
时间复杂度分析
/*
向下调整算法建堆时间复杂度计算
假设满二叉树树高度h
各层的节点数为
第一层 2 ^ 0               ------向下调整h-1次
第二层 2 ^ 1               ------向下调整h-2次
第三层 2 ^ 2               ------向下调整h-3次
...    ... 
第h - 1层  2 ^ (h - 2)     ------向下调整1次
第h层  2 ^ (h - 1)

向下调整算法建堆是从最小父亲开始,即第h-1层的最后一个节点 parent = (size-1-1)/2
最坏情况下所有节点需要执行的次数为
f(h) = 2^(h-2)*1 + 2^(h-3)*2 + ... + 2^1*(h-2) + 2^0*(h-1)    错位相减
2*f(h) = 2^(h-1)*1 + 2^(h-2)*2 + ... + 2^2*(h-2) + 2^1*(h-1)
作差、合并得f(h) = 2^h -h-1
其中 满二叉树节点数N = 2^h-1,即h = log(N+1) 代入得
f(N) = N - 1 - log(N+1)  , 舍去logN(数量级)
所以O(n) = n

-------------------------------------------------------------------------------
而向上调整算法建堆时间复杂度比较吃亏,见图
假设满二叉树树高度h
各层的节点数为
第一层 2 ^ 0               
第二层 2 ^ 1               ------向上调整1次
第三层 2 ^ 2               ------向上调整2次
...    ...
第h - 1层  2 ^ (h - 2)     ------向上调整h-2次
第h层  2 ^ (h - 1)         ------向上调整h-1次
计算方法还是错位相减,由图显然可发现向上调整算法执行次数数量级明显提高
不再计算
O(n) = n*logN



总结:向下调整算法跳过最下层最多节点层,且从下层开始节点多执行次数少。快
	向上调整算法从上开始从节点少往节点多执行次数成倍增加,前面的加起来都没最后一层多,慢
*/


//建堆---选数,放到最后,排除掉,重新选数

//合计时间复杂度    O(n + n*logN) = O(n*logN) 

TOP-K问题

TOP-K问题:即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素,一般情况下数据量都比较大。
比如:专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题,能想到的最简单直接的方式就是排序,但是:如果数据量非常大,排序就不太可取了(可能
数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决,基本思路如下:

  1. 用数据集合中前K个元素来建堆
    前k个最大的元素,则建小堆
    前k个最小的元素,则建大堆
  2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较,不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后,堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

代码示例
TopK.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"
#include<time.h>

//取前K个最大数
#define K 10

void TopK()
{
	
	int n = 10000;//int n = 10000;//数据量
	int randMax = 10000;//int randMax = 10000;
	int minHeap[K] ;
	//int K = 100;

	memset(minHeap, 0, sizeof(minHeap));//初始化数组,且用sizeof(arr)---不用取地址
	srand((size_t)time(0));//不用加size_t也行,NULL实际上会被time强制转换成(void)0
	
	//TopK问题思路s
	//建一个大小为K的堆

	FILE *fin = fopen("data.txt", "w");
	if (fin == NULL)
	{
		perror("fopen fail");
		return;
	}

	//随机写入数据,rand , 使用fprintf("fout","%d ",)

	int randK = K;//int randK = K;
	for (int i = 0; i < n ;i++)
	{
		int val = rand() % randMax;  //最大值不超过randMax
		if (val % 3 == 0 && randK-- > 0) 
		{
			val = randMax + randK;   //插入自定义最大值
		}
		fprintf(fin, "%d ", val);
	}
	//如果插入的最大值不够K个,就在末尾补上  --------出现的概率很小,忽略
	while (randK-- > 0)
	{
		fprintf(fin, "%d ", randMax+randK);//注意分隔符,分隔给人看的,使用空格或\n方便用fscanf默认的分隔符识别
	}
	fprintf(fin, "%d ", 99999); //--- 验证能否插入且插入到最后

	fclose(fin);


	//for (int i = 0 ; i < K; i++)
	//{
	//	AdjustDown(minHeap, K, 0);
	//}

	FILE *fout = fopen("data.txt", "r");//重置文件指针
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen fail");
		return;
	}



	int tmp;
	while (fscanf(fout, "%d", &tmp) != EOF) //注意,由于设置了scanf的默认分隔符空格或\n,随意不用在格式%d后带分隔符识别
	{
		//从文件中提取数据
		//提一个就和堆顶比较一次
		//随着文件指针走下去会比较完文件所有数据
		//ASCII文件使用fscanf("流","格式","dest");
		if (tmp >minHeap[0])
		{
			minHeap[0] = tmp;
		}
		AdjustDown(minHeap, K, 0);//换一次调堆一次
	}
	fclose(fout);

	for (int i = 0; i < K; i++)//打印数组
	{
		printf("%d ", minHeap[i]);
	}
}

四、二叉树链式结构的代码实现

二叉树的遍历

前序、中序以及后序遍历
学习二叉树结构,最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则,依次对二叉
树中的节点进行相应的操作,并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历
是二叉树上最重要的运算之一,也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则,二叉树的遍历有:前序/中序/后序的递归结构遍历:

  1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
  2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。
  3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根,所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又可解释为
根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

层序遍历

层序遍历:除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外,还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在
层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层
上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

代码实现

Tree.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#pragma once

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>

//树的遍历

//根据不同的递归遍历方法  访问  每个树(结构体)的data和左右孩子  进行操作。

//每次递归到一颗新树(每个节点都是一颗树),都要先判断是否空树 ---- 以防止野指针错误


//---- 创建二叉树 ----

typedef int BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode *left;  //left sub tree
	struct BinaryTreeNode *right; //right sub tree
}BTNode;


/*
node->data = x;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
*/
BTNode* BuyBTNode(BTDataType x);//构建值为x的节点


/*
printf("%d", root->data);
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
*/
void PrevOrder(BTNode *root);//先根遍历


/*
PrevOrder(root->left);s
printf("%d", root->data);
PrevOrder(root->right);
*/
void InOrder(BTNode *root); //中根遍历


/*
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
printf("%d", root->data);
*/
void PostOrder(BTNode *root); //后根遍历

void LevelOrder(BTNode *root); //层序遍历


/*
return BTSize(root->left) + BTSize(root->right) + 1;
*/
int BTSize(BTNode* root); //求二叉树节点个数


/**/
int BTLeafSize(BTNode* root); //求二叉树叶子节点个数


int BTHeight(BTNode *root);//求二叉树高度

int BTLevelKSize(BTNode *root, int k);//计算二叉树第k层节点

BTNode *BTFind(BTNode* root, BTDataType x); //二叉树查找某节点地址

void BTDestroy(BTNode*root); //二叉树销毁

BTNode * rebuildBinaryTree(BTDataType* str, int *pi);  //构建一颗二叉树, pi为数组的下标地址


bool isBTComplete(BTNode *root);

构建二叉树与基本功能

tree.c


#include"Tree.h"


/*创建一个值为x的二叉树节点*/
BTNode* BuyBTNode(BTDataType x)    //创建值为x的节点
{

	BTNode *node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));//使用指针要指向实际空间
	if (!node)
	{
		perror("malloc fail!");
		exit(1);
	}
	node->data = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;
	return node;
}

/*前序遍历*/
void PrevOrder(BTNode *root) //previous  order顺序   NLR:前序遍历(Preorder Traversal 亦称
{
	if (!root )
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
							  
	printf("%d ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);

}


/*中序遍历*/
void InOrder(BTNode *root)  // ..中
{

	if (!root )
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);
}



/*后续遍历*/
void PostOrder(BTNode *root) // post- 前缀  ..之后   ..后面  ..后
{
	if (!root )
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);

}


/*求二叉树所有节点个数*/
int BTSize(BTNode* root)
{
/*
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	//思想:左子树 和 右子树 和 自己 的节点数 的和
	return BTSize(root->left) + BTSize(root->right) + 1;
*/

	//两个重复语法可以合并
	return !root ? 0 : BTSize(root->left) + BTSize(root->right) + 1;

}



/*求二叉树叶子节点个数*/
int BTLeafSize(BTNode* root)
{
	if (!root)
	{
		return  0;
	}
//思想:左右节点为空即为叶子
	if(!root->left && !root->right)
	{
		return 1;
	}

	return BTLeafSize(root->left) + BTLeafSize(root->right);

}



/*求二叉树高度*/
int BTHeight(BTNode *root)
{
	if (!root)
	{
		return 0;
	}



	//思路:比较左右子树高度,不要小的  只有关系运算符能够实现:比较两边选一边舍弃另一边

	//方法一:
	//return BTHeight(root->left) > BTHeight(root->right) 
	//	? BTHeight(root->left) + 1 
	//	: BTHeight(root->right) + 1;
/*
	点评;问题很大,递归之后栈帧会销毁,数据不再保存,
		  每次递归都会计算两次子树高度,每个子树高度计算都是指数级*/


	//优化:方法二:

	int leftHeight = BTHeight(root->left);
	int rightHeight = BTHeight(root->right);
	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
/*	点评:通过记下当前栈帧数据,避免重复计算*/
}



/*求二叉树第k层节点个数*/
int BTLevelKSize(BTNode *root , int k)
{
	/*遇到第k层或空怎么做*/
	if (!root)  
	{
		return 0;
	}

	if (k == 1)   //最后一层,第k层
	{
		return 1;
	}

	/*没到第k层怎么做*/
	return BTLevelKSize(root->left,k-1) + BTLevelKSize(root->right,k-1) ;  //不是第k层,继续深入,找到第k层
	//为什么是k-1,因为传的是k
}



/*二叉树查找*/
BTNode *BTFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (!root )
	{
		return NULL;
	}

	if (root->data == x)
	{
		return root;
	}

	BTNode*left = BTFind(root->left ,x);
	if (left)
	{
		return left;
	}
	
	BTNode*right = BTFind(root->right,x);
	if (right)
	{
		return right;
	}

	//可以写成下面这种形式,看起来好看
/*
	if (right)
		return right;)*/
	return NULL; //root !=NULL , 值不为x ,左右子树找不到,返回空
}


/*构建一个二叉树*/
BTNode *rebuildBinaryTree(BTDataType* str, int *pi)  // pi为数组的下标地址
{
	if (str[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return  NULL;
	}
	BTNode*root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	root->data = str[(*pi)++];
	root->left = rebuildBinaryTree(str, pi);
	root->right = rebuildBinaryTree(str, pi);

	return root;

}



/*二叉树销毁*/
void BTDestroy(BTNode*root) /*一级指针传值,调用后需要在函数外置空root*/
{
	if (!root)
	{
		return;
	}
	BTDestroy(root->left);
	BTDestroy(root->right);
	free(root);
	root->left = root->right = NULL;
}


/*
遍历命名

N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)

根据访问结点操作发生位置命名:
① NLR:前序遍历(Preorder Traversal 亦称(先序遍历))
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
② LNR:中序遍历(Inorder Traversal)
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。
③ LRN:后序遍历(Postorder Traversal)
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

前三种次序与后三种次序对称

*/
中序遍历(非递归)
    vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> v;
        stack<TreeNode*> st;
        TreeNode* cur = root;
        while(cur || !st.empty())
        {
            while(cur)
            {
                st.push(cur);
                cur = cur->left;
            }
            TreeNode* top = st.top();
            v.push_back(top->val);
            st.pop();

            cur = top->right;

        }
        return v;
    }
层序遍历


#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Tree.h"
#include"Queue.h"


void LevelOrder(BTNode *root)
{
	//通过队列实现
	Queue queue;//不带指针==给空间 , 带指针==只给指针空间,成员无空间
	QueueInit(&queue);
	if (root)
		QueuePush(&queue, root);

	//通过队列缓存子树滚动数据实现遍历
	while (!QueueEmpty(&queue))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&queue);//把数据从队列中取出
		printf("%d ", front->data);
		QueuePop(&queue);
		if (front->left)
		{
			QueuePush(&queue, front->left);
		}
		if (front->right)
		{
			QueuePush(&queue, front->right);
		}
	}
	QueueDestroy(&queue);

}


void LevelOrder2(BTNode *root)
{
	if (!root)
	{
		return;
	}
	Queue queue;
	QueueInit(&queue);
	int levelSize = 0;

	QueuePush(&queue, root);
	levelSize = 1;
	while (!QueueEmpty(&queue))
	{
		while (levelSize--)
		{
			BTNode* front = QueueFront(&queue);
			printf("%d ", front->data);
			QueuePop(&queue);
			if (front->left)
				QueuePush(&queue, front->left);
			if (front->right)
				QueuePush(&queue, front->right);
		}
			printf("\n");
			levelSize = QueueSize(&queue);

	}

	QueueDestroy(&queue);
}
节点个数
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Tree.h"

int TreeSize(struct BinaryTreeNode *root)
{
	return !root ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

void _preorderTraversal(struct BinaryTreeNode *root, int *str, int* pi)
{
	if (!root)
	{
		return ;
	}
	str[(*pi)++] = root->data;
	_preorderTraversal(root->left, str, pi);
	_preorderTraversal(root->right, str, pi);
}

int* preorderTraversal(struct BinaryTreeNode* root, int* returnSize){

	*returnSize = TreeSize(root);
	int *a = (int*)malloc(*returnSize * sizeof(int));
	int i = 0;
	_preorderTraversal(root, a, &i);
	return a;
}
判断是否完全二叉树
#include"Tree.h"
#include"Queue.h"

bool isBTComplete(BTNode *root)
{
	if (!root)
	{
		return false;
	}
	Queue queue;
	QueueInit(&queue);
	QueuePush(&queue, root);

	while (!QueueEmpty(&queue))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&queue);
		QueuePop(&queue);
		if (!front) //一定存在下一层节点,所以直接跳出去,不用插入所有节点
		{
			QueuePop(&queue);
			break;
		}
		QueuePush(&queue, front->left);
		QueuePush(&queue, front->right);
	}

	while (!QueueEmpty(&queue))
	{
		if (QueueFront(&queue))
		{
			QueueDestroy(&queue);
			return false;
		}
		QueuePop(&queue);
	}
	QueueDestroy(&queue);
	return true;
}
判断是否是子树
#include<stdio.h>
struct TreeNode
{
	int val;
	struct TreeNode* left;  //left sub tree
	struct TreeNode* right; //right sub tree
};

bool isSubtree(struct TreeNode* root, struct TreeNode* subRoot){
	if (subRoot == NULL)
	{
		return true;
	}

	if (root == NULL)
	{
		return false;
	}

	if (root->val == subRoot->val) //如果相等,且是相同子树,返回真
	{
		if (isSameTree(root, subRoot))
		{
			return true;
		}
	}

	return isSubtree(root->left, subRoot)
		|| isSubtree(root->right, subRoot);
}
判断两棵树是否相同相同
#include<stdio.h>
struct TreeNode
{
	int val;
	struct TreeNode* left;  //left sub tree
	struct TreeNode* right; //right sub tree
};

bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q){
	if (p == NULL && q == NULL)
	{
		return 1;
	}
	else if (p == NULL&&p != q || q == NULL && p != q)
	{ /*注意逻辑运算先后顺序,整个if-else是判断有1个NULL以上为前提,运算符要求先有空*/
		//可以优化成 p == NULL && q == NULL,因为已有前提;
		return 0;
	}

	if (p->val != q->val)
	{
		return 0;
	}
	else
		return isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right);
}



两个树是否对称
#include "Tree.h"


bool _isSymmetric(BTNode *root1, BTNode *root2)
{
	if (!root1 &&!root2)
	{
		return true;
	}
	if (!root1 || !root2)
	{
		return false;

	}

	if (root1->data != root2->data)
	{
		return false;
	}

	return _isSymmetric(root1->left, root2->right) && _isSymmetric(root1->right, root2->left);
}


bool isSymmetric(BTNode *root)
{
	return !root || _isSymmetric(root->left, root->right);

}
两棵树是否对称2
 //检查左右子树是否对称
//检查方法:
//  1.两个节点都为空为对称 
//  2.两节点的值相等 && a节点左与b节点右对称 && a节点右与b节点左

class Solution {
public:
    bool isSymmetric(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr)
            return true;
        return check(root->left, root->right);
    }
    bool check(TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if (!q && !p)
            return true; // 两个都是空
        if (!q || !p)
            return false; // 两个都不是空的前提,其中一个为空,pass
        return check(p->left, q->right) && check(p->right, q->left) &&
               p->val == q->val;
    }
};
二叉树的直径

543. 二叉树的直径 - 力扣(LeetCode)

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */

/*
递归分解: 
    分别计算root左右节点的最大直径,然后求和与flag作比较+置换
    (每个节点都要这么做)
    flag是最长路径的节点个数,flag-1就是路径数
    (先计算节点数,最后再-1得到路径)

*/



class Solution {
public:
    int answer = 0; //最长经过的节点数
    int diameterOfBinaryTree(TreeNode* root) {
        answer = 1; //为空时满足return条件
        depth(root);
        return answer-1;
    }
    int depth(TreeNode * root ){
        if(root == nullptr) return 0;
        int L = depth(root->left); //root的左子树深度 = 左子树最长路径节点数
        int R = depth(root->right);//root的右子树节点数 = ...
        answer = max(L+R+1,answer);//左右连起来最长路径节点数,与旧值比较
        return max(L,R)+1;         //返回root的最长子树的深度
    }
};
单值二叉树

如果二叉树每个节点都具有相同的值,那么该二叉树就是单值二叉树

#include<stdio.h>
struct TreeNode
{
	int val;
	struct TreeNode* left;  //left sub tree
	struct TreeNode* right; //right sub tree
};

bool isUnivalTree(struct TreeNode* root){

	if (root == NULL)
	{
		return true;
	}

	if (root->left && root->left->val != root->val)
	{
		return false;
	}

	if (root->right && root->right->val != root->val)
	{
		return false;
	}

	return isUnivalTree(root->left) && isUnivalTree(root->right);
}
翻转二叉树
    TreeNode* invertTree(TreeNode* root) {
        if(root == nullptr) return nullptr;
        TreeNode* left = invertTree(root->left); 
        TreeNode* right = invertTree(root->right);
        root->left = right;
        root->right =left;
        return root;
    }
最大深度
    int maxDepth(TreeNode* root) {
        if(root == nullptr) return 0;
        return max(maxDepth(root->left),maxDepth(root->right))+1;
    }

用到的队列

Quque.h
#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<assert.h>
//#include"tree.h"

struct BinaryTreeNode; //类型声明   : 类型是可以声明的,只要变量名就可以---原理,搜索整个源码


typedef  struct BinaryTreeNode* QDataType;

typedef struct QueueNode
{
	struct QueueNode *next;
	QDataType data;
}QNode;

//控制变量结构体
//只有一个值,就不用定义结构体,有多个就定义结构题。

typedef struct Queue
{
	struct QueueNode *head; //队头,出队,头删
	struct QueueNode *tail; //队尾,入队,尾插
}Queue;
//是指针变量就传二级指针,是普通变量就传一级

void QueueInit(Queue *pq);
void QueueDestroy(Queue *pq);

void QueuePush(Queue *pq, QDataType x);
void QueuePop(Queue *pq);

QDataType QueueFront(Queue *pq);
QDataType QueueBack(Queue *pq);

int QueueSize(Queue *pq);
bool QueueEmpty(Queue *pq);

Queue.c
#include "Queue.h"


void QueueInit(Queue *pq)
{
	assert(pq);
	pq->head = NULL;
	pq->tail = NULL;
	

}

void QueueDestroy(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	QNode * next = NULL;
	QNode *cur = pq->head;
	while (cur)
	{
		next = cur->next;
		free(cur);
		cur = next;
	}
	pq->head=pq->tail = NULL;
}

void QueuePush(Queue *pq,QDataType x)
{
	assert(pq);
	QNode *newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
	if (newnode == NULL)
	{
		perror("malloc fail ");
		exit(-1);
	}
	//先初始化再使用
	newnode->data = x;
	newnode->next = NULL;
	//单链表队列-尾插头删。
	if (pq->tail == NULL)//头尾都行,判断一个就可以了
	{
		pq->head = pq->tail = newnode;
	}
	else                             //尾插
	{
		pq->tail->next = newnode; //队尾指向的节点链接上新节点
		pq->tail = newnode;      //队尾指向新节点
	}
}

void QueuePop(Queue *pq)
{
	assert(pq);
	assert(!QueueEmpty(pq));
	if (pq->head->next == NULL)//只有一个节点
	{
		free(pq->head);//先释放
		pq->tail = pq->head = NULL;//后置空
	}
	else
	{
		QNode *next = pq->head->next;//记住下一个
		free(pq->head);//释放头节点
		pq->head = next;//下个节点成为新节点
	}
}

QDataType QueueFront(Queue *pq)
{
	assert(pq);
	assert(!QueueEmpty(pq));
	return pq->head->data;
}


QDataType QueueBack(Queue *pq)
{
	assert(pq);
	assert(!QueueEmpty(pq));
	return pq->tail->data;
}

int QueueSize(Queue *pq)
{
	assert(pq);
	QNode *cur = pq->head;
	int size = 0;
	while (cur)
	{
		size++;
		cur = cur->next;
	}
	return size;
}

bool QueueEmpty(Queue *pq)
{
	assert(pq);
	//return QueueSize(pq) == 0;
	return pq->head == NULL ;//只要有一个就可以了
	//head为空tail也为空
}

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